解题的快乐源于我们对题目的探究及其内在美的体悟．许多经典试题背后都隐藏着一段极为精彩的数学故事．让我们跟随这些题，走一趟奇妙的历史与文化之旅吧，让我们游历万物皆（有理）数"的毕达哥拉斯为代表的希腊文明的数学时代。
我们先看看形数理论吧，开拓为古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯，其毕达哥拉斯学派在研究数的概念时，用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，小石子可以摆成不同的几何图形，从而就产生了一系列的形数．即将"数"与"形"结合起来研究。他们在研究"数"时，就常常把"数"同画在平面上的"点"联系起来，按照"点"的形状将数进行分类，进而结合图形性质推导出数的性质。通过形数，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，有效地印证了该学派"万物皆数"的观点．另外，毕达哥拉斯还给出了形数的有趣性质，比如：两个相邻三角形数之和是正方形数. 即
又如他们发现一个数（N)的平方等于前N个奇数的和。比如，N=4时，4²=16=前4个奇数的和（1+3+5+7）。你可以自己给定一个N试试。毕达哥拉斯学派对完全数很感兴趣。如果一个数的所有因子的和正好等于这个数，那么这个数就叫完全数。比如6的因子是1、2、3，而1+2+3=6，所以6是一个完全数。毕达哥拉斯学派还至少发现了第一对亲和数，即有些成对的数字，一个数的所有因子的和正好是另一个数。比如说220的因子分别是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，它们的和是284；而284的因子分别是1、2、4、71、142，它们的和是220. 毕达哥拉斯学派最崇拜的数字是10，据说它是一个三角形数，因为它是一个递增数列的和：1+2+3+4=10。在用点代替数字时，它的三角形性质更显露无疑。毕达哥拉斯学派把有10个点的三角形称为神秘三角，不仅因为它构成了一个等边三角形 ，也因为它的边代表了毕达哥拉斯发现的和谐比例，分别是2：1、3：2和4：3。可以说毕达哥拉斯学派的人被认为是数学理论以及算术性质研究的奠基人。
下面通过几个经典问题开拓解题思路，培养解题思维，来深入体会毕达哥拉斯形数魅力吧，
1．阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：
传说古希腊毕达哥拉斯（Pythagonas，约公元570年﹣约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6，10…由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用n(n+1)/2（n≥1）表示．
任务：请根据以上材料，证明以下结论：
（1）任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
（2）连续两个三角形数的和是一个完全平方数．
变式1．阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数．
把数 1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由．
【解答】（1）根据题意得：an＝n(n+1)/2（n为正整数）；
（2）66是三角形数，理由如下：
变式1．古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．"三角形数"和"正方形数"之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的"三角形数"的和为一个"正方形数"，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21B．36+45＝81C．9+16＝25D．30+34＝64
【分析】符合条件的两个三角形数要满足二个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个三角形数之差等于正方形数的平方根．
【解答】：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠√21，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝√81，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠√25，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠√64，所以D是错误的．故选：B．
变式2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为"三角形数"，而把1、4、9、16…这样的数称为"正方形数"，从图中可以发现任何一个大于1的"正方形数"都可以看作两个相邻"三角形数"之和．
（1）第5个三角形数是______ ，第n个"三角形数"是 ______，第5个"正方形数"是 ______，第n个正方形数是________ ；
（2）经探究我们发现：任何一个大于1的"正方形数"都可以看作两个相邻"三角形数"之和．
例如：①4＝1+3，②9＝3+6，③16＝6+10，④ ，⑤ ，…．
请写出上面第4个和第5个等式；
（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．
【解答】（1）15，n(n+1)/2，25，n²；
（2）根据①4＝1+3，②9＝3+6，③16＝6+10即可得出第4个等式为第5个三角形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数，第5个等式为第6个三角形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数；
25＝10+15，36＝15+21；
（3）第n个等式为第（n+1）个"三角形数"等于第n个"三角形数"加上第（n+1）个"三角形数"．
变式3.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …这样的数称为"三角形数"，而把1、4、9、16 …这样的数称为"正方形数"．
（1）49是一个正方形数，请你把它写成两个三角形数和的形式49＝ + ；
毕达哥拉斯学派的学者甚至将这种数形结合的思想推广到三维空间，从而构造出了立体数．
3.（2019•博望区校级模拟）毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和邢之间的联系，讨论了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等），甚至将平面数推广到了立体数，如图所示：
其中三棱锥数依次为1，4，10，…，则第20个三棱锥数为_______ ．
由此可见，毕达哥拉斯形数是多么神奇和神秘，充满了无穷的魅力．高斯曾在日记中写道："ErPHKA! num＝△＋△＋△"．这里的ErPHKA是希腊文"发现"或"找到"的意思．到底是什么发现让高斯如此兴奋？原来他找到了"自然数可表示为三个三角形数之和"的证明（num为数的缩写，△表示三角形数）．
