三角形重心（几何三角形重心的特性及公式证明）

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三角形重心是三角形三条中线的交点，是一个非常特殊的点，具有很多特殊的性质。有些涉及重心的问题，直接使用这些性质会事半功倍。下面简要总结一下。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

1.三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

△ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线，交点为O。则AO：OD=BO：OE=CO：OF=2:1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

证明：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

如图，连接EF与AD交于G，由三角形中位线定理知，EF∥BC。又因E为AC中点，因此G是AD中点。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

因为△EOG∽△BOD，且相似比为1：2，因此可计算出：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

AG：GO：OD=3:1:2，于是AO：OD=2：1。其他同理。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

这个定理在一些给出重心要求计算边长关系的问题中相当有用。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

2.三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

△ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的中线，交点为O。则S△AOB=S△BOC=S△COA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

证明：先证S△AOB=S△BOC，其他同理。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

（计算三角形面积基本上要做高的辅助线）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

因为△AOB=△BOC同底，因此其面积比等于高长比文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

过A做AP⊥BE于P，过C做CQ⊥BE延长线于Q。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

因E是AC中点，AE=CE，由AAS定理易得△AEP≌△CEQ文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

因此AP=CQ文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

S△AOB：S△BOC=AP：CQ=1，因此S△AOB=S△BOC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

3.三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

如图，O是△ABC内一点，O到三条边的距离分别为h₁、h₂、h₃。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

求证：当O为△ABC的重心时，h₁•h₂•h₃取最大值文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

证明：设三角形三条边长分别为a、b、c，连接AO、BO、CO。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

S△ABC= S△AOB+ S△BOC+ S△COA =1/2（a•h₁+b•h₂+c•h₃）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

给定了△ABC，那么S△ABC是定值，三边长a、b、c也是定值。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

变化的是O的位置，也就是h₁、h₂、h₃是变量。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

若求h₁•h₂•h₃的最大值，那么最直观的是使用基本不等式。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

利用不等式的思想就是：将变量向定量上凑。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

因为给定的定量是三角形的边长和面积，那么就要凑出文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

h₁•h₂•h₃≤X（X是定值）的形式，且一定是朝着文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

S△ABC=1/2（a•h1+b•h2+c•h3）的方向做变换文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

积与和之间的基本不等式为：几何平均数≤算数平均数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

当有两个变量时，其形式为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

当有三个变量时，其形式为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

于是我们可以得到：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

（当且仅当ah₁=bh₂=ch₃时等号成立，等号成立的条件极其重要）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

那么，无需继续进行计算，只需要知道当ah₁=bh₂=ch₃时，h₁•h₂•h₃取最大值即可。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

那么此时S△AOB=S△BOC=S△COA，即O是重心。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

因此，当O为△ABC重心时，到三边距离之积最大。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/97930.html

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