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作者 | 刘洋洲文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，数学英才获授权转载，在此感谢！文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

楔子

提起分形，就不得不说Julia集以及Mandelbort集。那么两者究竟是如何构造的呢？如何通过简单的编程去画出图像？让我们一探究竟。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

铺垫

让我们先来简单复习一下复数的知识。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

复数，即形如 的数，其中 ， 是虚数单位， 我们称为实部， 称为虚部，复数集合记为 . 单从加法的角度而言，复数和平面向量没有区别：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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但是复数还可以相乘，并且相乘的结果还是复数：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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先将复数视为一个关于字母 的多项式，依据多项式乘法打开括号，最后将 代入乘积结果，最后合并同类项即可。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

正如我们前面提到复数与平面向量的关系，所以用复平面上的点去表示复数是自然的：我们以平面直角坐标系的横轴定义为实数轴，纵轴定义为虚数轴；同向量满足平行四边形法则一样，复数加法的几何意义也是平移。既然将复数可以视为向量，那么就可以定义其模长与实轴的夹角——辐角。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

有了模长与辐角，我们自然可以写出复数的极坐标形式 ，其中 ，即将向量 向实轴、虚轴分别投影。我们定义 ，于是复数就可以更简洁地表示为 . 两个复数在极坐标表示下其几何意义更为明显：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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最后由三角函数和角公式（再回过头看复数的乘法公式，是不是很眼熟）：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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注意到文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

这不就是指数乘法运算法则吗？事实上，有欧拉公式作为桥梁文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

所以复数乘法的几何意义：模长相乘，辐角相加。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

例如对于平方函数 ，其几何意义是模长变为原来模长的平方，辐角加倍。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

定义

首先定义一个复变函数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

其中 是给定的复数。这个函数意味着将自变量先伸缩、旋转再平移。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

Julia集合以及Mandelbort集合都是由这个二次函数定义的，并且两者关于此函数有某种对偶性。我们先严格用集合的形式将两者表示出来：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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其中 表示 次迭代. 我们一般所说的Mandelbort集合其实是 ，即考虑初值为 的迭代：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

概括来说，Julia集合以及Mandelbort集合就是反复迭代 ，不发散到无穷的 或者 构成的集合。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

性质

相信很多人对于上面的定义十分忌惮，想要获得这两个集合的图像，对于人力而言实在是一项艰巨的挑战。数列 究竟什么时候发散至无穷？实际上有一个很实用的定理：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

定理文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

定理的证明使用归纳法，我们就略去了。有了这个定理，剩下的工作交给计算机就行了：设定一个迭代次数的上限 ，当经过 次迭代后， 如果 仍然没有超过 ，我们就认为这个点属于 （尽管可能存在狼混入羊圈的风险）；否则，就说明该点不在 中。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

这个算法还有个名字：逃逸时间算法。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

R 语言代码

选择生成均匀分布的随机数，然后去验证是否在集合内。由此得到下图。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

设定画布par(mar = rep(0, 4), oma = rep(0, 4), bg = "00AC0E") 背景颜色bg任意选择plot(0,0, type = "n", xlim = c(-2, 1),ylim = c(-1, 1), axes = FALSE, xlab = "",ylab = "")绘制Mandelbrot集图像函数Mandelbrot<-function(N=32,color="blue")N表示迭代次数上限{n=2;m=Nrepeat这是一个死循环，当图像不再发生太大的变动，请手动stop{a=runif(1,-n,1.5);b=runif(1,-1,1)c=complex(0,a,b)z=0for(iin1:m){z=z*z+cif(Mod(z)>2)break 如果超出2就退出循环}if(Mod(z)<2)points(c,pch=16,col=color,cex=0.1)}}Mandelbrot文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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以上面的程序为基础，共用一个画布，一层一层覆盖（迭代次数的上限 N 逐层翻倍），反复使用此函数，就可得到Mandelbort集如下图——文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

红点为原点，每个格子的边长为0.1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

将程序稍加修改，就可以获得Julia集合的绘图程序：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

par(mar =rep(0,4), oma =rep(0,4), bg ="white") 背景颜色bg任意选择plot(0,0,type="n", xlim = c(-2,2),ylim = c(-2,2), axes = FALSE, xlab ="",ylab ="")Julia <-function(c =-1+0.2i, N = 100, color = "yellow")N表示迭代次数上限{repeat{a = runif(1,-2,2); b = runif(1,-2,2)z = complex(0,a,b)Z = zfor(iin1:N){z = z*z+cif(Mod(z)>2)break如果超出2就退出循环}if(Mod(z)<2)points(Z, pch=16, col = color, cex=0.1)}}Julia 文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

Julia集和Mandelbort集

Mandelbort集具有如下性质：当则连通。所以，Mandelbort集在某种意义上就像是Julia集的地图，每个位置都对应着一个连通的Julia集。容易证明当时，对应着的刚好是单位圆盘，我们令沿着某一直线运动，相应的Julia集也在相应的变化着：起初在原点附近，Julia边界接近圆，随后图形越来越卷曲、纤细、破碎……文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

Julia集从左到右依次对应的c为：-1.4，-1.2，-1.0，-0.8，-0.6，-0.4，-0.2，0.0，+0.2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

Julia集和Mandelbort集的秘密人们还知之甚少，因为他们实在太过复杂。例如，Shishikura（1994）证明了Mandelbort集的边界具有Hausdorff维数是2！虽然Mandelbort集已经被J. Hubbard和A. Douady证明是连通的（即不可以表示为两个不交的开集的并），但是是否是道路连通（即任意两点都有区间文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/68008.html

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