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阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一。他与牛顿、高斯并称为三大数学家。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
定理定义
如右图所示,AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是弧ABC的中点,则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
定义:从圆周上任一点出发的两条弦,所组成的折线,我们称之为该图的一条折弦。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
验证推导
方法1:补短法1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
如图,延长DB至F,使BF=BA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
如图,延长DB至F,使BF=BA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MCA=∠MAC=∠MBC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MBAC四点共圆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MCA+∠MBA=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵∠MBC+∠MBF=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MBA=∠MBF文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MB=MB,BF=BA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△MBF≌△MBA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠F=∠MAB=∠MCB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴MF=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MD⊥CF文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴CD=DF=DB+BF=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
方法2:补短法2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
延长AB到E,使BE=BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M是弧AB中点,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MBC=∠MAC=∠MCA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M,B,A,C四点共圆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MCA+∠MBA=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵∠MBE+∠MBA=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MCA=∠MBE文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MBC=∠MBE文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵BE=BD,MB=MB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△EBM≅△DBM文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠E=∠MDC=90°,ME=MD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
又∵MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△MEA≅△MDC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴DC=AE=AB+BE=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
方法3:截长法1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
如图,在CD上截取DG=DB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MD⊥BG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴MB=MG,∠MGB=∠MBC=∠MAC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MAC=∠MCA=∠MGB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
又∠MGB=∠MCB+∠GMC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠BMA=∠GMC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△MBA≌△MGC(SAS)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴AB=GC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴CD=CG+GD=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
方法4:截长法2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
如图,在CD上截取CG=AB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵∠BAM=∠BCM文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△MBA≌△MGC(SAS)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴MB=MG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MD⊥BG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴BD=DG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴CD=CG+GD=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
方法5:垂线法
如图,作MH⊥射线AB,垂足为H。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵MD⊥BC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠MDC=90°=∠H文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵∠MAB=∠MCB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△MHA≌△MDC(AAS)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴AH=CD,MH=MD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
又∵MB=MB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴HB=BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴CD=AH=AB+BH=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
方法6:圆周角法文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
延长MD交圆O于E,连接EC,EA,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
延长EA交CB延长线于F.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵M为AMC中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠1=∠2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵ MD⊥BC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠EDF=∠EDC=90°,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵ED=ED文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴△EDF≅△EDC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠C=∠F,DF=DC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∵A.B,C,E 四点共圆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠C+∠BAE=180°.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
而∠3+∠BAE=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠C=∠3文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴∠F=∠3文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴BF=AB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
∴CD=FD=BF+BD=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
典例1☆☆☆☆☆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
如图,已知点A,B,C,D顺次在圆O上,AB=BD,BM⊥AC,垂为 M.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
证明∶AM=DC+CM.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
1.(★★☆☆☆)如图,已知点 A,B,C,D顺次在圆O上,AB=BD,BM⊥AC,垂足为 M.若 AM=5,CM=1,则 CD=_______.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
2.如图,已知△ABC中,D为AC上一点,且AD=DC+CB,过点D作AC的垂线交外接圆于点M.求证:M是优弧AB的中点.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
3.如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC,点D为弧AC上的动点,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
且cos∠ABC=文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
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(1)求 AB 的长度.(2)求 AD· AE 的值.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
(3)过A点作 AH⊥BD,求证∶BH=CD+DH.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html
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