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阿基米德(Archimedes，公元前287~公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一。他与牛顿、高斯并称为三大数学家。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

定理定义

如右图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

验证推导

方法1：补短法1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

如图，延长DB至F，使BF=BA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

如图，延长DB至F，使BF=BA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MBAC四点共圆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MCA+∠MBA=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵∠MBC+∠MBF=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MBA=∠MBF文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MB=MB,BF=BA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△MBF≌△MBA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠F=∠MAB=∠MCB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴MF=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MD⊥CF文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

方法2：补短法2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

延长AB到E，使BE=BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M是弧AB中点，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MBC=∠MAC=∠MCA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M,B,A,C四点共圆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MCA+∠MBA=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵∠MBE+∠MBA=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MCA=∠MBE文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MBC=∠MBE文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵BE=BD,MB=MB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△EBM≅△DBM文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠E=∠MDC=90°,ME=MD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

又∵MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△MEA≅△MDC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴DC=AE=AB+BE=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

方法3:截长法1文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

如图，在CD上截取DG=DB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MD⊥BG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

又∠MGB=∠MCB+∠GMC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠BMA=∠GMC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△MBA≌△MGC(SAS)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴AB=GC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴CD=CG+GD=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

方法4:截长法2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

如图，在CD上截取CG=AB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵∠BAM=∠BCM文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△MBA≌△MGC(SAS)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴MB=MG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MD⊥BG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴BD=DG文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴CD=CG+GD=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

方法5:垂线法

如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M是弧ABC的中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴MA=MC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵MD⊥BC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠MDC=90°=∠H文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵∠MAB=∠MCB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△MHA≌△MDC(AAS)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴AH=CD，MH=MD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

又∵MB=MB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴HB=BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴CD=AH=AB+BH=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

方法6：圆周角法文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

延长MD交圆O于E,连接EC,EA,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

延长EA交CB延长线于F.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵M为AMC中点文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠1=∠2文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵ MD⊥BC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠EDF=∠EDC=90°,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵ED=ED文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴△EDF≅△EDC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠C=∠F,DF=DC文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∵A.B,C,E 四点共圆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠C+∠BAE=180°.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

而∠3+∠BAE=180°文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠C=∠3文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴∠F=∠3文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴BF=AB文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

∴CD=FD=BF+BD=AB+BD文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

典例1☆☆☆☆☆文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

如图，已知点A，B，C，D顺次在圆O上，AB=BD，BM⊥AC，垂为 M.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

证明∶AM＝DC＋CM.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

1.（★★☆☆☆）如图，已知点 A，B，C，D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为 M.若 AM＝5，CM＝1，则 CD＝_______.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

2.如图，已知△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB，过点D作AC的垂线交外接圆于点M.求证：M是优弧AB的中点．文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

3.如图，△ABC内接于⊙O，BC=2，AB=AC，点D为弧AC上的动点，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

且cos∠ABC=文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

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（1）求 AB 的长度.（2）求 AD· AE 的值.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

（3）过A点作 AH⊥BD，求证∶BH=CD＋DH.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/102258.html

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