密克点有哪些重要的推论和意义(密克点是什么)

2023年3月12日14:21:18密克点有哪些重要的推论和意义(密克点是什么)已关闭评论

1、已知:如图,AB=AC,D、E、F在BC、AB、AC上,DE//AC,DF//AB,G为△ABC外接圆上BC弧中点。

求证:GD⊥EF(《中等数学》2017年增刊一 模拟题3)

思路分析:

此构型很熟悉,显然还是前面一直说的1949年的那个题目[1],

由那题的结论知AH//EF,DH⊥EF,故DH⊥AH。又显然AG为圆的直径,

故GH⊥AH,从而G,D,H共线,即结论成立。

证明:设D关于EF对称点为H,依题意易得

AEDF为平行四边形且EB=ED=EH,

从而E为△BDH的外心,

类似的,F为△CHD的外心,

故2∠BHD=∠BED=∠BAC=∠DFC=2∠DHC,

即∠BHC=∠BAC,

故BAHC共圆。

∠EHF=∠EDF=∠BAC,

故AEFH共圆。

又AE=DF=FH,

故AEFH为等腰梯形,

则AH//EF,

故DH⊥AH。

又显然AG为外接圆的直径,

故GH⊥AH,从而G,D,H共线,即

GD⊥EF。

注:

1)原题中的点D在BC延长线上,图形稍有区别,但本质相同。原解答稍复杂,也和上述解答不同,有兴趣的读者可以自行参阅。

2)本题初看不易,但是只要发现结构熟悉,联系到经典的性质证明几乎显而易见。

做完本题,一个自然的思路是本题能否推广呢?本题可以理解为过D的EF的垂线经过定点G,对于一般的三角形有没有类似的结论呢?一个推广是依然作平行线,可以发现此时垂线不过定点。另一个推广当然是类似上一篇[2],保证EB=ED,FD=FC,发现过D的EF的垂线经过定点I,I在ABC外接圆上且AI⊥BC。从而可以将本题推广,得到:

2、已知:如图,D、E、F分别在BC、BA、AC上且ABIC共圆,

且ED=EB,FD=FC,AI⊥BC。

求证:ID⊥EF(《中等数学》2018年增刊一 模拟题8)

思路一:希望能如法炮制,模仿上一题的思路。

作出D关于EF对称点J,考虑证明IDJ共线,

但是此时没有AI为直径及AJ//EF,

所以直接模仿是不行的,只能再深入挖掘了。

因为此题本质为猫爪定理(即密克定理),所以

延长EF,作出完全四边形在情理之中,

结合很多共圆适当倒角即可得到。

证明一:设EF交BC于K,D关于EF对称点为J,

显然E、F为△JBD、△JCD外心,则

∠EJF=∠EDF=180°-∠EDB-∠FDC

=180°-∠ABC-∠ACB=∠BAC,

故JEFA共圆;

则2∠ABJ=∠JEA=∠JFA=2∠JCF,

故JBCA共圆;

则∠KBJ=∠CAJ=∠KEJ,

故JEBK共圆;

则∠AIJ=∠ABJ=∠EKJ=∠EKD=90°-∠KDJ,

故∠IDC=∠KDJ,

则JDI共线,

即ID⊥EF。

思路二:证明垂直的常见思路是利用定差幂线,即

勾股定理推论。所以还可以考虑适当计算得到。

通过尝试发现也是可行的,

这样就可以不添加辅助线,

直接通过余弦定理及三角计算完成证明。

注:1)上述证法一类比上题,在情理之中,不过也不是简单的照搬,还要还原到本质——猫爪定理中来才行,这里再次体现了抓住问题本质的重要性。许多问题只有回到本质上才能看清楚,才能顺利解决。

2)证法二利用定差幂线及余弦定理三角计算证明也是自然而然的思路,对于不熟悉本题结构的人应该是一个合理的选择。最终证明也不复杂。

3)当然本题也可以改编为:求证当D运动时,过D的EF的垂线过定点。

3、已知:分别在等腰三角形ABC的腰AB、AC上选点M、K,在底边BC上选点D使得AMDK为平行四边形。直线MK交BC于L。

过D作BC的垂线,分别交AB、AC于X、Y。

求证:以L为圆心,LD为半径的圆与△AXY的外接圆相切。

(2017年沙雷金几何奥林匹克9-4)

思路分析一:本题结构当然还是老一套。可以考虑

将其转化为前面的经典问题解决。

两圆相切,切点H一定至关重要,

画出准确图形后可以发现H恰好和D关于MK对称,

这样可得ABCH共圆。

还能发现LH为此圆切线。

又OA也为此圆切线。

从而本题证明思路基本明朗。

转化为:设H为D关于MK对称点,

LH交过A的BC的平行线于O,

只需证明OA=OH且XAYH共圆即可。

证明一:

设D关于LM对称点为H,

LH上点O满足AO//BC。

由AMDK为平行四边形,得

∠MAK=∠MDK=∠MHK,

则AMKH共圆,

又AM=DK=HK,

故AMKH为等腰梯形。

又KC=KD=KY=KH,

则K为HCD外心,

同理M为BDH外心。

则2∠ABH=∠AMH=∠AKH=2∠ACH,

则ABCH共圆。

则∠KHL=∠KDL=∠KCD,

故KHLC共圆,

则∠CHL=∠CKL=∠CAH,

故LH为圆ABC切线。

又OA为圆ABC切线,

故OA=OH。

又∠XAH=∠HCB=∠HYX,

故XAYH共圆;

又OA为XY中垂线,

则O为AXY外心。

又LD=LH,从而以L为圆心LD

为半径的圆与△AXY的外接圆相切于H。

思路二:

设XY交MK于Z,发现本题只需证明Z在两圆根轴上即可。

这样即可消去两圆。得到下图。

只需证明

ZD^2=ZY*ZX,

<=>ZD/ZY=ZX/ZD,

<=>MD/KY=MX/KD,

显然MD=MX,KY=KD,从而结论成立。

证明二:

设XY交MK于Z,

D关于MK对称点为H。

显然M为圆BDHX圆心,

K为圆CDYH圆心,

则∠CYH=∠CDH=∠HXB,

故XAYH共圆。

依题意MD=MX,KY=KD,

由平行得

ZD/ZY=MD/KY=MX/KD=ZX/ZD,

即ZD^2=ZY*ZX

故ZH^2=ZY*ZX。

故ZH为圆AXY切线,

又显然ZH为圆(L,LD)的切线。

从而两圆切于H。

从而以L为圆心LD为半径的圆与△AXY的外接圆相切于H。

注:1)本题是2017年沙雷金几何奥林匹克决赛九年级的压轴题第4题,虽然结构常见,但是深入了许多,而且证明两圆相切的题目一般都是很难的,所以此题还是一个很有难度的题目。上述两个解答都是本人思考得到的。参考答案的方法是用圆的正交及反演证明的,当然这也是证明两圆相切的常见思路。

2)上面证明1基本想法还是还原为经典问题,特别是发现公切点即为D关于MK对称点后就更坚定了此思路的信心,最终确实也能如愿以偿。所以解答一虽然有点复杂,但是对于本题结构熟悉的人还是容易想到和操作的,因为毕竟都是老生常谈的结论。

3)上面证明2相对比较简洁,关键在于发现Z在两圆公切线上,后面通过消点简化图形即可轻松证明。上述证法1和2都是通过挖掘公切点的性质得到的,这是证明两圆相切的最常见而且自然的思路。

4)显然本题是对本结构深入挖掘得到的优美性质,进一步彰显了本结构的活力无限。当然本题是否还能在推广呢,本人尝试了很久,没有得到好的结果。希望感兴趣的读者勇于挑战。

懵懂先生