分数是无理数吗（分数可能是无理数吗）

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连分数和无理数有许多有趣的性质，本篇我们就来了解下：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

如下是个简单的连分数，不断的替换1，就得到1的连分数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

如果我们把第一式子的1替换成2，依然成立，就得到2的连分数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

所以得到文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

显然这是错误的，伙伴们你知道哪里出错了么？继续往下你就会明白文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

我们来看无理数的连分数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

发现2后面的小数和根号2的小数一样文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

所以重复下去就得到根号2的连分数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

你会发现根号2的连分数是有1和2组成文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

如图是黄金比例的连分数，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

你会发现带根号的都会生成周期性的无穷连分数，根号3，根号5 都存在这样的周期性。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

如图是自然常数e的连分式：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

你会发现e的连分式也存在着周期性：2114 116 118..........文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

我们可以用这些连分数来证明这些数是无理数：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

首先从有理数分数说起，一个分数不断写成连分数时，必定是有限的收敛的，不会无限延伸下去：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

对于无理数如：黄金分割，自然常数 圆周率，这些数的连分数是无限延伸下去的。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

如下是π的连分数，按前面所说的方式不断写下去，延伸的越多近似程度越高。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

你会发现π的接近速度远高于Φ ，这和他们的连分式有关。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

π的连分式都是3,7,15......较大的数逼近程度更快。Φ 的连分式都是1,1,1.......较小的数逼近程度慢。所以黄金比例数被称为无理数之王。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

上图中写的分数都是连分式左侧最大的整数部分构成的，如π的分数：22/7,333/106.....总是收敛于π文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

我们一提到黄金比例数，就不得不想到斐波那契数列，它们两个存在着密切的联系，黄金比例数的连分式生成的部分分式的数列，发现存在斐波那契数：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

以上就是对连分数和无理数的描述与分析。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/26200.html

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