除法（数的运算之除法）

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一．概念描述文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

现代数学：除法是数学中的基本运算之一，已知两个数a，b(b≠0)，要求一个数q，使q与b的积等于a，这种运算称为除法，记为a÷b=q或a：b=q，读作a除以b等于q，a比6等于q。a称为被除数，b称为除数，q称为a与b的商，符号÷或：称为除号或比号。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

除法可以定义为：已知两数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。因此，除法还是乘法的逆运算。除法还可以看作从被除数中连续减去除数，求减去除数的次数的算法。特别地，对于任意数a÷1 =a，a÷a=1, 0÷a=0。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

小学数学：现行的小学数学教材一般是在二年级时开始学习除法，教材中没有给出除法的定义。不同版本的教材都是结合生活实例，让学生在分一分的活动中，感受到在生活中分东西时，可以按份数平均分，也可以按每份数平均分，在积累了大量等分经验基础上引出除法。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

二．概念解读文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

自然数的除法，一般作为乘法的逆运算加以定义。但是，也可以直接定义，像将乘法定义为连加某个数一样，也可把除法定义为连减某个数，直到不能减为止。若剩余数为0，则称为除尽；否则，称为带余除法。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

在除法中，零不能做除数。因为在a÷b=q中，当a≠0时，由于任何数乘0都不可以等于a，所以a÷b的商不存在；当a=0时，由于任何数乘0都等于0，所以a÷b的商不确定。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

除法的本质是平均分，一般人认为，现代记号÷作为除法运算的符号，首创者是瑞士数学家雷恩。据说，雷恩先生在做数学运算时，遇到要把一个整体分成几份的问题，但没有符号可以表示这种分法。于是，他就用一条短横线把两个圆点分开，表示分解的意思。这种推测，道出了除法表示等分成几份之意。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

除法算式一般有两种读法。如8÷2=4，可以读作8除以2等于 4，也可以读作2除8等于 4。这是因为在原先的汉语言表达中，除法是区分主动与被动状态的，除以就是用某数除的意思。像刚才说的8除以2，就是以2除8之意。因为除和除以这两个概念既有区别又有联系，所以常常引起学生的混淆。近些年来，随着乘和乘以两个概念统一为乘，除和除以这两个概念是否统一也成了老师们热议的话题。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

在小学，除法概念的学习分为两个阶段。第一个阶段是在中低年级，数的范围局限在非负整数集。这时主要理解：除法表示平均分，以及除法是乘法的逆运算。第二个阶段是在高年级，数的范围在整数、小数、分数上，主要理解除法和分数、比的关系。可见，学生学习除法概念的过程是由浅人深、循序渐进的。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

三．教学建议文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

除法是平均分的数学化表示。学生只有充分经历平均分的过程，明确平均分的含义，建立起平均分的清晰表象，才能为认识除法打好基础。侯丽丽老师充分重视平均分在除法学习中的重要作用，在教学中能够抓住概念本质，带领学生深入理解平均分。具体如下。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

(1)重视操作，使学生充分经历平均分的活动文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

侯老师首先引导学生在动手操作的过程中，理解平均分的概念，使学生体会到日常分东西时有一种特殊情况，每份分得同样多，就是平均分。然后侯老师鼓励学生用不同的方法进行平均分。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

①探索平均分的方法。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

侯老师提出问题：把9个桃子，平均分给3 只小猴，每只小猴几个桃子？学生动手操作后，汇报交流。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

方法一：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

方法二： 方法三：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

方法四： 方法五：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

在交流中，学生发现前四种方法每次分给每只小猴的桃子的个数都同样多，所以最后每只小猴都得到了3个桃子。对于方法五，虽然每一次分给每只小猴的桃子的个数不一样，但经过调整后，每只小猴最后分得的结果同样多，也是平均分。学生在交流的过程中还发现，这种方法虽然从最后结果看是平均分，但是有些麻烦，在分的过程中还需要不断地调整，从而体会到为了确保结果是平均分，在分的过程中每一次最好分得同样多。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

紧接着，侯老师再出示：猴王摘了8个桃子，每2个给1只小猴，猜猜可以分给几只小猴？学生动手进行验证。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

这样，学生在充分经历了平均分物的过程后，不仅掌握了平均分的方法，也对平均分的含义有了进一步的认识。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

②突出平均分的本质属性。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

侯老师让学生思考：把9个桃子平均分给3只小猴，每只小猴分得3个桃子；又把8个桃子，按每2个桃子分给1只小猴，结果平均分给了4只小猴。想想刚才分的情况有什么相同的地方？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

候老师通过这道题目使学生明确：不管是按份数平均分，还是按每份数平均分，结果每一份分得的都同样多，都是平均分。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

(2)将平均分的过程与除法算式及含义建立充分的联系文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

由于除法概念比较抽象，因此除法的初步认识往往会从分物活动引入，使学生理解除的实质是平均分。在进行平均分的教学时，就要让学生对平均分的过程和方法非常清楚，要知道分的是什么，怎么分的，分的结果是什么。然后结合平均分的具体情境教学除法算式的写法和含义，使学生体会到被除数是要分的总数，除数是平均分的份数或每份的数，商是平均分的结果，体会到除法是解决平均分问题的一种运算方法。学生经过这样多次的体验、感悟，就能逐渐建构起除法这一概念的模型。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

四．推荐阅渎文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

(1)《整体感悟基础上的分析---认识除法的教材分析及教学建议》（刘秘密，《教学月刊（小学版）》，2011年第3期）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

该文以认识除法一课为例，分析了不同版本的教材编写及其教学过程中的问题，并对教材进行了重组，给出了一些具体的教学建议。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

(2)《也谈除和除以》（王全夫，《中小学数学（小学版）》，2008年第6期）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

该文阐述了除和除以这两个概念以及除和除以作为不同概念的利弊，并分析了这两个概念和谐统一的可能性。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/24114.html

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