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一．知识点归纳总结文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
１．勾股定理文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
２.勾股定理的证明文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
３.勾股定理的适用范围文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
４.勾股定理的应用文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边长时；文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则有文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
② 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
５.勾股定理的逆定理文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
如果三角形三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
它通过 数转化为形 来确定三角形的可能形状，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 + b2 与较长边的平方 c2 作比较 :文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
若它们相等时，以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形；文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
若 a2 + b2 < c2，时，以 a，b，c 为三边的三角形是钝角三角形；文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
若 a2 + b2 > c2，时，以 a，b，c 为三边的三角形是锐角三角形 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
②定理中 a，b，c 及 a2 + b2 = c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
如若三角形三边长 a，b，c 满足 a2 + c2 = b2，那么以 a，b，c 为三边的三角形是直角三角形，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
但此时的斜边是 b 而不是 c 了 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
６.勾股数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
① 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
即 a2 + b2 = c2 中，a，b，c 为正整数时，称 a，b，c 为一组勾股数 ;文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
② 记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如 3 , 4 , 5；6 , 8 , 10；5 , 12 , 13 等 ;文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
③ 用含字母的代数式表示 n 组勾股数：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
7.勾股定理及其逆定理的应用文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
二、常见题型归纳总结文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
题型一：直接考查勾股定理文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
【例题1】在 △ABC 中，∠C = 90°．文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
⑴ 已知 AC = 6，BC = 8．求 AB 的长 ;文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
⑵ 已知 AB = 17，AC = 15，求 BC 的长 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
分析：画出图形直接应用勾股定理即可解题 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
题型二：应用勾股定理建立方程文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
【例题2】文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
⑴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，CD⊥AB 于 D，则 CD＝；文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
⑵ 已知直角三角形的两直角边长之比为 3 ：4，斜边长为 15 cm，则这个三角形的面积为；文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
⑶ 已知直角三角形的周长为 30 cm，斜边长为 13 cm，则这个三角形的面积为.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
有时可根据勾股定理列方程求解 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
【例题3】如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠1 = ∠2，CD = 1.5 , BD = 2.5 , 求 AC 的长 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
解析：设 AC = x , 易知 CD = DE = 1.5 , AC = AE = x ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
在 Rt△DEB 中，根据勾股定理可得：DE2 + BE2 = BD2 ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
即 1.5 × 1.5 + BE2 = 2.5 × 2.5 ，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
解得 BE = 2 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：AC2 + BC2 = AB2 ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
即 x2 + 4 × 4 = （x + 2）2 ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
解得 x = 3 ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ AC = 3 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
题型三：勾股定理在实际问题中的应用文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
【例题4】如图有两棵树，一棵高 8 m，另一棵高 2 m，两树相距 8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m.文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
分析：根据题意建立数学模型，如图所示 AB = 8 m，CD = 2 m，BC = 8 m，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
过点 D 作 DE⊥AB，垂足为 E，则 AE = 6 m，DE = 8 m .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
在 Rt△AED 中，应用勾股定理，可得 AD = 10 m ，即小鸟至少飞了 10 m .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
【例题5】已知三角形的三边长分别为 a，b，c，试判定 △ABC 是否为直角三角形 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
① a = 1.5，b = 2，c = 2.5 ;文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
② a = 5/4，b = 1，c = 2/3 .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
【例题6】已知在 △ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 边上的中线 AD = 12 cm，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
求证：AB = AC .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
证明：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∵ AD 是 BC 边上的中线，BC = 10 cm ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ BD = DC = 5 cm ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
在 △ADB 中，AB = 13 cm , AD = 12 cm , BD = 5 cm ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∵ 5 × 5 + 12 × 12 = 13 × 13 ，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ BD2 + AD2 = AB2 ,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ △ADB 是直角三角形，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90° ，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ △ADB ≌ △ADC，（SAS）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
∴ AB = AC .文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
三、巩固训练文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
1、一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
2、如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC = 10 千米，BD = 30 千米，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
且 CD = 30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/23223.html
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