求导(求导法则，缘何而来？)

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引言文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

导数，是数学中非常重要的一部分。高中的时候，高考数学的难题往往就和导数相关，而基本初等函数的求导，则是求解复杂的初等函数的导数的基石。我们知道对一个初等函数，它的导数的定义是：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

我们当时利用这个定义，展现了的求导：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

然而，当我们再学其他基本初等函数的导数（指对幂函数，三角函数）的时候，数学课本上突然就略去了这个过程，而是直接给出了结论。我们似乎也是将这些结论背下来的，而没有真正理解它的内涵。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

难道这些求导规则都是凑的？编的？没有依赖于导数的定义？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

当然不可能！这篇文章的目的，就是把这一环补上。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

函数的四则运算与复合函数求导法则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

设，为的函数，为的函数，在变化了时，, 和分别变化了, 和。则：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

（1）加减法求导法则为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

（向左滑动可查看完整公式，下同）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(2) 乘法求导法则为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(3) 除法求导法则为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(4) 复合函数的求导法则为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

诶等等……为什么要扯这些？不是要扯基本初等函数求导法则的吗？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

哈哈，原因有两个：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

这些规则只利用了导数的定义，没有利用任何函数的求导结果文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

后面我们将看到，所有基本初等函数的求导就是借助这些规则加上少数的函数的求导结果形成的。而那少数函数的求导，可以完全借助导数的定义进行。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

因此，我们最终的目的就是向大家展示，「从导数定义出发，所有基本初等函数的导数都是从导数定义求出来的，而不是背下来的！」文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

三角函数求导：用几何说话小角近似，yyds文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

相信无论是搞过高中物理竞赛的小伙伴还是大学学过高等数学的小伙伴，一定对下面这个近似非常熟悉：当时，。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

这是为啥呢？我们现在还在求导，所以什么导数，泰勒展开啥的，全都不能用。那又怎么去说明这个关系呢？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

没关系，代数不够，几何来凑！华罗庚先生倡导的数形结合咱要用嘛！看下面的图：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

图中，弧AB是以O为圆心，半径为的圆弧。设O点处的角大小为（弧度制），则AB弧长显然为。过B作OA的垂线BH，显然BH长为。过A点作OA的垂线（也就是圆弧的切线）并交OB所在直线于C点，显然AC长为。而时，AB的弧度越来越小，弧AB和线段BH以及线段AC越来越趋近于重合，从而它们的长度也应该越来越一致，从而。用更专业的说法，应该写成：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

这两个关系统称为小角近似。本文中，利用前一个关系就够了。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

从正弦函数到所有三角函数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

我们先来尝试求解正弦函数的导数：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

从而：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

借助正余弦的导数，正切函数的导数为：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

至此，（高中阶段的）三角函数求导完成。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

指对幂函数求导：从常数e到求导法则常数，何方神圣？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

我们在高中数学的一开始就学过，是一个非常重要的科学常数。它的值为，是一个无理数。我们在高中时，没有对这个常数做非常深入的讲解，只是简单提了一句：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

而实际上常数真的是这么定义的吗？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

我们知道，极限这个概念，是高等数学的基础。而我们在刚开始学高等数学的时候，就一定接触过下面这个重要的数列：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

学过高等数学的小伙伴一定知道，这个数列有极限。还记得我们是怎么证明的吗？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

咱不妨复习一下：首先，根据二项式定理：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

那么：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

由于显然随着的增大而递增，所以对于任意给定的，都随递增。不仅如此，随着的增大，参与加和的项还在越来越多。因此，单调递增。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

时，显然有文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

可见，数列单调递增又有上界，因此它的极限必然存在。而常数的定义，就是这个数列的极限。也就是说：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

这里我用三横代替等号，以强调这是定义。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

那，我们高中时候看到的那个阶乘的表达式是咋回事呢？它和上面的定义是否等价呢？文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

我们还是从下面这个式子出发：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

首先，，从而文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

当然，利用时容易证明是有限值。而另一方面，对于任意给定的，当足够大时，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

而是有限值，从而：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

由此可见，文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

因而，这两种定义方法是等价的。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

向看齐！文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

刚才，我们已经证明了，数列是的忠实粉丝。那么，还有什么也要和套近乎呢？多了去了。这里指出几个对下面有用的：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(1)设，则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(2)设，则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(3)设，且。则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

（4）设。当时，设满足。 那么，根据文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

用类似的方法可以证明：设，则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

扯了半天，只为自然对数求导文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

通过上面的讨论，想必大家对常数一定有了一个更深刻的认识。现在，我们对自然对数函数用导数的定义求导：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

设。可见：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

老天！原来我们是这样得到的！如果我们仔细回味的话，「我们使用了这一性质。而这个性质的得到，追根溯源是依赖于的定义式：。」(，请注意我又一次使用了三横)。换句话说：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

「因为我们是那样定义的，所以我们有这一关系！」文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

现在，我们可以求出一般的指对幂函数的导数了~文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

根据函数的乘法以及复合函数的求导法则：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(1) 设。则：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

(2) 设。则：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

其中，是一个变量代换。当然，容易验证时上式也成立，从而可以说：设。则：。特别地，。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

（3）设，，则：文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

若，，可以根据时这一关系验证：总成立。【注：和最好不要同时为零，除非我们强行规定。这并不太合适。】文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

至此，指对幂函数求导完成！从而，高中所涉及的全部基本初等函数的求导都已经完成！这也就说明了，所有基本初等函数的导数都是从求导规则求出来的，而不是背下来的。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/21665.html

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