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大家好,我是专升本数学学霸,这次我们来讨导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的求导法则。那你知道导数的定义及其几何意义、与连续性的关系以及函数的求导法则呢?没关系,学霸来帮你来了。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
谈论导数之前,我们先看看两个例子:文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
直线运动的速度①取从时刻 t0到t这样一个时间价格,在这段时间内,质点从为止S0=f(t0)移动到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0,质点的平均速度。②瞬时速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)切线问题设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时,如果各项MN绕点M旋转而趋于极限为止MT,直线MT就称为曲线C在点M处的的切线。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
tan θ=(y-y0)/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)(x→x0)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
一、导数的定义文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
设函数 y=f(x)在点x0的某个领域内有定义,当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该邻域内)时,相应地,因变量取得增量 △y=f(x0+△x)-f(x0);如果 △y与△x之比当△x→0时的极限存在,那么称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)的在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f(x0),即文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
也可记住文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
二、导数的几何意义文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
曲线在点(x0,y0)的切线方程:文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
曲线在点(x0,y0)的法线方程:文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
注:曲线的 切线方程的斜率 与 曲线的 法线方程的斜率 互为负倒数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
三、函数的可导性与连续性的关系文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
设函数y=f(x)在点x处可导,即文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
其中α为当 △x→0时的无穷小,上式两边同乘 △x 得文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
当 △x→0时,△y→0。函数yy=f(x)在点x处是连续的。所以,如果函数y=f(x)在点x处可导,那么函数在该点必连续。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
四、函数的求导法则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
①函数的和、差、积、商的求导法则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
和、差: (u ± v)’=u’± v’文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
记:和、差的导数分别求导,再和、差。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
积:(uv)=u v+u v , (Cu)=C u(C为常数)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
简记:乘积的导数是 前导后不导加上后导前不导(前是指 乘积中的第一个因子,后是指 乘积中的第二个因子)。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
商:(u/v)=(u v-u v) / v^2 (v不等于0)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
简记:商的导数是 子导母不导 减去 母导子不导 最后 除以 分母的平方(子 指分子,母指 分母)。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
②反函数的求导法则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
如果函数 x=f(y)在区间I内单调、可导且f (x)≠0,那么它的反函数在反函数的区间内也可导,且文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
记:反函数的导数 等于 原函数的导数的倒数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
③复合函数的求导法则文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
如果u=g(x) 在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,那么复合函数 y=f[g(x)]在点x可导,其导数为文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
记:复合函数的导数 等于 一层一层往里面求导,再乘积。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
例如 (sin nx)= n cos nx文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
④常用的导数公式文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(1)( C )=0文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(2)(x^u)=u x^(u-1)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(3)(sin x)= cos x文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(4) (cos x)=-sin x文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(5)(tan x)= sec(^2) x文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(6)(cot x)=-csc(^2) x文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(7)(sec x)=sec x ·tanx文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(8)(csc x)=-csc x cot x文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(9)(a^x)=(a^x) · ln a文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(10)(e^x)=e^x文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
(11)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
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不要怕,学霸来帮你来了,这几个有口诀可以帮助记忆:文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
口诀:文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
常为零,幂降次,对倒数,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
指不变,正变余,余变正,文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
切割方,割乘切,反分式。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
口诀含义:文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
常数的的导数为零。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
幂函数的导数是指数减一,在把原指数做系数。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
对数函数的导数是倒数。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
指数的导数不变,在乘以 ln a。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
正弦函数变余弦函数,余弦函数变正弦函数。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
正切和余切的导数分别是正割的平方和余割的平方。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
正割和余割的导数分别是 正割乘以正切 和 余割乘以余切文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
反三角函数的导数都是分式。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
五、高阶导数文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
一般地,函数y=f(x)的导数 y=f(x)仍然是x的函数。我们把 y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作 y 或文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
f(x)叫做f(x)的一阶导数,一阶导数的导数是二阶导数,二阶导数的导数是三级导数。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
...一般地,(n-1)阶导数的导数叫n阶导数。文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
y, y ,y, y^(4), . . . . . .y^(n)文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/18063.html
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