矩阵可逆的充要条件（可逆的充要条件是什么）

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线性代数中的二次型，实际上是特征值的几何应用，概念仍需加强理解文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

二次型:实际上是特征值的几何应用文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

1、二次型化标准形:特征值、特征向量、相似对角化文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

2、二次型的正定性文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

3、合同:坐标变换文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

正交变换化二次型为标准形，标准为求二次型矩阵 A 的特征值，求坐标变换就是求 A 的特征向量文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

接下来我们来看道例题，首先是第一小题 文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图一文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

首先，我们肯定是要读题，通过题目来了解一些明显的信息文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图二文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

这个是之前谈到过的概念了，二次型的方程可以直接得到二次型矩阵文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

化简方法为：xixj系数的一半位于矩阵的ij位置（i为第i行，j为第j列）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，所以也要将xixj系数的一半位于矩阵的ji位置（j为第j行，i为第i列），然后对角线的话也是按照这个规则来，那很明显，对角线就是11，22，33文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

因为秩为 2，所以可以得到 r(A)=2，再得到行列式为 0，因为根据已有条件可知道，当 n 阶行列式的秩小于 n 时，行列式的值为 0文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

所以得到 a=0文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

再来看第二小题文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

通过正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为标准形文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

由第一小题a=0可以知道（将a代入到式子中去来求矩阵A的特征值）文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

这里过程不详细叙述了，行列式λE-A等于0，来求矩阵A的特征值文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

我直接计算出特征值为2和0文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图三文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

由于特征向量已经两两正交，那么我们只需要单位化即可文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图四文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

那么，经过正交变化x=Qy就可以得到文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图五文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

由于f(x1,x2,x3)=0，那么我们就可以得到文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图六文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

注意点:1、n 阶矩阵 A 的秩小于 n 时，那么 A 的行列式就等于 0，而行列式等于所有特征值的 乘积，所以至少有一个特征值为 0文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

2、如果 n 阶矩阵 A 的秩小于 n 时，可以得到该矩阵不可逆，因为可逆矩阵的充要条件是行列式 的值不为 0文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

3、正交变换：可以化二次型为标准型，就如我们前面用到的文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

完整过程步骤 文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

图七文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

总结文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

总的来说，线性代数需要记忆的概念还是比较多的，二次型化为标准形的时候，主要要借助到一些概念，例如矩阵的秩、特征值和特征向量等等，我对这块掌握还不够完善，仍需努力，加强理解！文章源自略懂百科-http://wswcn.cn/13753.html

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